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如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”,如图①所示,矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”,显然,当△ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个.
(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”;
(2)如图②,若△ABC为直角三角形,且∠C=90°,在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小;
(3)若△ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB,在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明.精英家教网
分析:(1)类似“友好矩形”的定义,即可写出“友好平行四边形”的定义:
如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”;
(2)根据定义,则分别让直角三角形的直角边或斜边当矩形的一边,过第三个顶点作它的对边,从而画出矩形.根据每个矩形和直角三角形的面积的关系,比较两个矩形的面积大小;
(3)分别以三角形的一边当矩形的另一边,过第三个顶点作矩形的对边,从而画出矩形,根据三角形和矩形的面积公式,可知三个矩形的面积相等,设矩形的面积是S,三角形的三条边分别是a,b,c.根据矩形的面积由其中一边表示出矩形的另一边,进一步求得其周长,运用求差法比较它们的周长的大小.
解答:精英家教网解:(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.     

(2)此时共有2个友好矩形,如图的BCAD、ABEF.     
易知,矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍,
∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.                

(3)此时共有3个友好矩形,如图的BCDE、CAFG及ABHK,
其中的矩形ABHK的周长最小.                        

证明如下:
易知,这三个矩形的面积相等,令其为S,设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1,L2,L3精英家教网
△ABC的边长BC=a,CA=b,AB=c,则:
L1=
2S
a
+2a,L2=
2S
b
+2b,L3=
2S
c
+2c,
∴L1-L2=(
2S
a
+2a)-(
2S
b
+2b)=-
2s
ab
(a-b)+2(a-b)=2(a-b)
ab-S
ab

而ab>S,a>b,
∴L1-L2>0,即L1>L2
同理可得,L2>L3
∴L3最小,即矩形ABHK的周长最小.
点评:理解该题中的新定义,能够根据定义正确画出符合要求的图形,掌握三角形和矩形的面积公式,能够运用求差法比较数的大小.
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如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”。如图(1)所示,矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”。显然,当△ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个。

1.仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”

2.如图(2),若△ABC为直角三角形,且∠C=90°,在图(2)

中画出△ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小;

3.若△ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB,在图(3)中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最大的矩形。(标上字母)

 

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【小题1】仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”
【小题2】如图(2),若△ABC为直角三角形,且∠C=90°,在图(2)
中画出△ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小;

【小题3】若△ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB,在图(3)中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最大的矩形。(标上字母)

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【小题1】仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”
【小题2】如图(2),若△ABC为直角三角形,且∠C=90°,在图(2)
中画出△ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小;

【小题3】若△ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB,在图(3)中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最大的矩形。(标上字母)

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1.仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”

2.如图(2),若△ABC为直角三角形,且∠C=90°,在图(2)

中画出△ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小;

3.若△ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB,在图(3)中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最大的矩形。(标上字母)

 

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