Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示．

又∵EF⊥AD，

∴EF为AD的垂直平分线，

∴AE=DE，AF=DF．

∵AB=AC，AD⊥BC于点D，

∴AD⊥BC，∠B=∠C．

∴EF∥BC，

∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF，

∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．

（2）

解：如答图2所示，

由（1）知EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴ ，即 ，解得：EF=10﹣ t．

S△PEF= EFDH= （10﹣ t）2t=﹣ t2+10t=﹣ （t﹣2）2+10（0＜t＜ ），

∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10cm2，此时BP=3t=6cm

（3）

解：存在．理由如下：

①若点E为直角顶点，如答图3①所示，

此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．

∵PE∥AD，∴ ，即 ，此比例式不成立，故此种情形不存在；

②若点F为直角顶点，如答图3②所示，

此时PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．

∵PF∥AD，∴ ，即 ，解得t= ；

③若点P为直角顶点，如答图3③所示．

过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．

∵EM∥AD，∴ ，即 ，解得BM= t，

∴PM=BP﹣BM=3t﹣ t= t．

在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（ t）2= t2．

∵FN∥AD，∴ ，即 ，解得CN= t，

∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣ t=10﹣ t．

在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣ t）2= t2﹣85t+100．

在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，

即：（10﹣ t）2=（ t2）+（ t2﹣85t+100）

化简得： t2﹣35t=0，

解得：t= 或t=0（舍去）

∴t= ．

综上所述，当t= 秒或t= 秒时，△PEF为直角三角形

【解析】（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．