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4.一个正三角形的边长为$\sqrt{3}$,则它的内切圆的面积为$\frac{1}{4}$πcm2,外接圆的面积为πcm2..

分析 据O为等边△ABC的内心(也是等边△ABC的外心),连接OA、OC、OB,设AO交BC于D,则AD⊥BC,BD=DC,即OB是△ABC外接圆的半径,OD是△ABC内切圆的半径,求出BD=DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,求出∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°,在Rt△OBD中,求出OD=BD•tan30°=$\frac{1}{2}$,根据OB=2OD求出OB即可得出外接圆面积.

解答 解:设O为等边△ABC的内心(也是等边△ABC的外心),连接OA、OC、OB,设AO交BC于D,
则AD⊥BC,BD=DC,
即OB是△ABC外接圆的半径,OD是△ABC内切圆的半径,
∵BC=$\sqrt{3}$,
∴BD=DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵O为等边△ABC内切圆的圆心,
∴∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°,
在Rt△OBD中,OD=BD•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{2}$;
∴OB=2OD=1,
∴外接圆面积是4πcm2,内切圆的面积是$\frac{1}{4}$πcm2
故答案为:$\frac{1}{4}$πcm2.,πcm2

点评 本题考查的是正多边形和圆,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键.

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