Question

10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，O为AB的中点．将OA绕点O逆时针旋转θ°至OP（0＜θ＜180），当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为50°或65°或80°．

Answer 1

分析 如图1，连接AP，根据直角三角形的判定和性质得到∠APB=90°，当BC=BP时，得到∠BCP=∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP=∠ABC=25°，于是得到θ=2×25°=50°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，根据线段垂直平分线的性质得到CH垂直平分PB，求得∠CHB=90°，根据等腰三角形的性质得到θ=2×40°=80°，当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，推出PG垂直平分BC，得到∠BGO=90°，根据三角形的内角和得到θ=∠BOG=65°．

解答 解：∵△BCP恰为轴对称图形，
∴△BCP是等腰三角形，
如图1，连接AP，
∵O为斜边中点，OP=OA，
∴BO=OP=OA，
∴∠APB=90°，
当BC=BP时，
∴∠BCP=∠BPC，
∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°，
∴∠ACP=∠APC，
∴AC=AP，
∴AB垂直平分PC，
∴∠ABP=∠ABC=25°，
∴θ=2×25°=50°，
当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，
∵BC=CP，BO=PO，
∴CH垂直平分PB，
∴∠CHB=90°，
∵OB=OC，
∴∠BCH=∠ABC=25°，
∴∠CBH=65°，
∴∠OBH=40°，
∴θ=2×40°=80°，
当PB=PC时，如图3，
连接PO并延长交BC于G，连接OC，
∵∠ACB=90°，O为斜边中点，
∴OB=OC，
∴PG垂直平分BC，
∴∠BGO=90°，
∵∠ABC=25°，
∴θ=∠BOG=65°，
综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为50°或65°或80°，
故答案为：50°或65°或80°．

点评 本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键．