Question

3．在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为5•（$\frac{3}{2}$）⁴⁰²²．

Answer 1

分析 推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA₁，证△DOA∽△ABA₁，得出$\frac{B{A}_{1}}{AB}$=$\frac{OA}{OD}$=$\frac{1}{2}$，求出AB，BA₁，求出边长A₁C=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，求出面积即可；求出第3个正方形的边长（$\frac{3}{2}$）²$\sqrt{5}$，面积是：（$\frac{9}{4}$$\sqrt{5}$）2；第4个正方形的面积是[（$\frac{3}{2}$）²]²×（5）²；依此类推得出第2012个正方形的面积是5•（$\frac{3}{2}$）⁴⁰²²，即可得出答案．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴$\frac{B{A}_{1}}{AB}$=$\frac{OA}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=AD=$\sqrt{5}$，
∴BA₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}$，
∴第2个正方形A₁B₁C₁C的边长A₁C=A₁B+BC=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，面积=（$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$）²=（$\frac{3}{2}$）²•5；
同理第3个正方形的边长是（$\frac{3}{2}$）²$\sqrt{5}$，面积是：（$\frac{9}{4}$$\sqrt{5}$）2；
第4个正方形的面积是[（$\frac{3}{2}$）²]²×（5）²；
…
第2012个正方形的边长是（$\frac{3}{2}$）^2012-1$\sqrt{5}$，面积是5•（$\frac{3}{2}$）⁴⁰²²，
故答案为：5•（$\frac{3}{2}$）⁴⁰²²．

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．