Question

如图，直线y=x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，若点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）求Rt△ABC的面积；
（2）说明不论a取任何实数，△BOP的面积都是一个常数；
（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

Answer 1

解：（1）令y=x+1中x=0，得点B坐标为（0，1）；
令y=0，得点A坐标为（2，0），
由勾股定理可得AB=，
故可得S_△ABC=AB•AC=；

（2）不论a取任何实数，三角形BOP都可以以BO=1为底，点P到y轴的距离1为高，
所以S_△BOP=为常数；

（3）分两种情况：
①当点P在第四象限时，
∵S_△ABO=1，S_△APO=-a，S_△BOP=，
∴S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP=S_△ABC=，
即1-a-=，
解得a=-2，
②当点P在第一象限时，
∵S_△ABO=1，S_△APO=a，S_△BOP=，
∴S_△ABP=S_△BOP+S_△APO-S_△ABO=S_△ABC=，
即+a-1=，
解得a=3．
综上可得a=-2或3．
分析：（1）先求出A、B两点的坐标，利用勾股定理得到AB的长，等腰Rt△ABC的面积为AB平方的一半；
（2）三角形BOP的底边BO=1，BO边上的高为P点的横坐标1，所以它的面积是一个常数；
（3）讨论，①点P在第四象限，②点P在第一象限，利用面积和差表示出△ABP的面积，然后根据△ABC和△ABP的面积相等建立方程，从而求出a的值．
点评：此题考查了一次函数综合题，掌握一次函数的性质，会求一次函数与两坐标轴的交点坐标，会用坐标表示线段，掌握用面积的和差表示不规则图形的面积是解题的关键．