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14.如图,圆形靠在墙角的截面图,A、B分别为⊙O的切点,BC⊥AC,点P在$\widehat{AmB}$上以2°/s的速度由A点向点B运动(A、B点除外),连接AP、BP、BA.
(1)当∠PBA=28°,求∠OAP的度数;
(2)若点P不在AO的延长线上,请写出∠OAP与∠PBA之间的关系;
(3)当点P运动几秒时,△APB为等腰三角形.

分析 (1)根据圆周角定理可知∠PBA=$\frac{1}{2}$∠POA,求出∠POA,再利用等腰三角形的性质即可解决问题;
(2)分∠PBA是锐角或钝角两种情形讨论求解即可;
(3)分三种情形求解即可;

解答 解:(1)连接OP,
∵∠PBA=$\frac{1}{2}$∠POA=28°,
∴∠POA=56°,
∵OP=OA,
∴∠POA=56°,
∴∠OAP=$\frac{1}{2}$(180°-56°)=62°.

(2)当∠PBA<90°时,∠OAP=$\frac{1}{2}$(180°-2∠PBA)=90°-∠PBA.
当∠PBA>90°时,∠OAP=∠PBA-90°.

(3)当AB为腰时,当AB=AP时,点P的运动弧的度数是90度,故时间t=$\frac{90°}{{2}^{°}}$=45,
当AB=BP时,点P的运动弧的度数是180度,时间t=$\frac{180°}{2°}$=90,
当AB为底时,即PB=AP时,点P的运动弧的度数是135度,故时间t=$\frac{135°}{2°}$=67.5.
综上所述,当点P运动45s或90s或67.5s秒时,△APB为等腰三角形.

点评 本题考查切线的性质、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.

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