Question

1．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-2k）（k＞0）交x轴于A、B（A左B右），交y轴于点C，点D在第一象限抛物线的图象上，且∠ABD=45°，△BCD的面积为$\frac{15}{2}$．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P为第一象限抛物线的图象上一点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交BD于E．把△PAH沿PH翻折，点A落在BH边上F点，设PF交BD于G，若EG=BG，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，设PF交抛物线于N，连接AN，Q在线段AN上，若∠PQG=2∠APQ．求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据正切函数，可得D点坐标，根据面积的和差，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据正切值相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，可得P点坐标；
（3）根据互余两角的正切值互为倒数，可得∠PAN=90°，根据全等三角形的判定与性质，可得AM，LM，根据解方程组，可得答案．

解答 解：（1）如图1，
在y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-2k），当x=0时，y=k，所以C（0，k），
当y=0时，x=-1，或x=2k，所以A（-1，0），B（2k，0），
设BD交y轴于E，所以E（0，2k），设D点坐标为[x，-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-2k）]
tan∠ABD=tan45°=$\frac{-\frac{1}{2}（x+1）（x-2k）}{2k-x}$=$\frac{1}{2}$（x+1）=1，
∴x=1
∴D（1，2k-1）
S_△BCD=S_△BCE-S_△DCE=$\frac{1}{2}$k（2k-1）=$\frac{15}{2}$，
解得k₁=3，k₂=-$\frac{5}{2}$（舍）
∴抛物线解析式为：y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-6）；
（2）如图2，
作GW⊥AB于W，
∵P点在抛物线上，
∴设P[m，-$\frac{1}{2}$（m+1）（m-6）]
则t an∠PAH=$\frac{PH}{AH}$=$\frac{-\frac{1}{2}（m+1）（m-6）}{m+1}$=-$\frac{1}{2}$（m-6），
因G是BE中点，则GW=HW=$\frac{1}{2}$（6-m），所以WF=WB-BF=$\frac{3}{2}$m-2
tan∠PFA=$\frac{GW}{WF}$=$\frac{\frac{1}{2}（6-m）}{\frac{3}{2}m-2}$=$\frac{6-m}{3m-4}$=-$\frac{1}{2}$（m-6），
因m≠6，解得m=2，
∴P（2，6）；
（3）如图3，
延长GH、PA交于点L，过L作LM⊥x轴于点M，
∴∠LMA=90°
由（2）可求G（4，2）
∴直线PG解析式为：y=-2x+10，与抛物线联立求得N点坐标为（7，4）
tan∠NAB=$\frac{1}{2}$，
∵tan∠PAB=2，
∴∠PAN=90°．
∠PQA=90°-∠APQ，
∵∠PQG=2∠APQ，
∴∠AQL=90°-∠APQ．
在△APQ和△ALQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAQ=∠LAQ=90°}\\{AQ=AQ}\\{∠PQA=∠LQA}\end{array}\right.$
∴△APQ≌△ALQ（ASA）
∴AP=AL．
在△PHA和△LMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PHA=∠LMA}\\{∠PAH=∠LAM}\\{PA=LA}\end{array}\right.$，
∴△PHA≌△LMA（AAS）
∴AM=AH=3   LM=PH=6，
∴L（-4，6），
直线GL解析式为：y=x-2    直线AN解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得 Q（1，-1）．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用正切值得出D点坐标是解题关键；（2）利用正切值得出关于m的方程值是解题关键；（3）利用全等三角形的判定与性质得出AM，LM是解题关键．