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19.如图,已知△ABC的面积为16,BC=8.现将△ABC沿直线BC向右平移a(a<8)个单位到△DEF的位置. 
(1)求△ABC的BC边上的高;
(2)连结AE、AD,设AB=5.
①求线段DF的长;
②当△ADE是等腰三角形时,求a的值.

分析 (1)如图1过点A作AM⊥BC于点M,由三角形的面积公式求得△ABC的BC边上的高是8;
(2)①在Rt△AMB中,由勾股定理求得BM=$\sqrt{{AB}^{2}{-AM}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{-4}^{2}}$=3,得到CM=BC-BM=8-3=5,在Rt△AMC中,由勾股定理求得AC=$\sqrt{{CM}^{2}{+AM}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{+4}^{2}}$=$\sqrt{41}$,得到DF=AC=$\sqrt{41}$;②如图2当△ADE是等腰三角形时,分三种情况讨论:当AD=DE时,a=5,当AE=DE时,因为AB=DE,得到AB=AE,BE=2BM=6,求得a=6;当AE=AD时,在Rt△AME中,AM=4,AE=a,ME=a-3,由勾股定理得:42+(a-3)2=a2,解得:a=$\frac{25}{6}$,

解答 解:(1)如图1过点A作AM⊥BC于点M,
∵△ABC的面积为16,BC=8,
∴$\frac{1}{2}$×8×AM=8,∴AM=4,
∴△ABC的BC边上的高是4;

(2)①在Rt△AMB中,BM=$\sqrt{{AB}^{2}{-AM}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{-4}^{2}}$=3,
∴CM=BC-BM=8-3=5,
∴在Rt△AMC中,AC=$\sqrt{{CM}^{2}{+AM}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{+4}^{2}}$=$\sqrt{41}$,
∴DF=AC=$\sqrt{41}$,
②如图2当△ADE是等腰三角形时,有三种情况:
 当AD=DE时,a=5,
 当AE=DE时,又∵AB=DE,
∴AB=AE,
∴BE=2BM=6,∴a=6;
当AE=AD时,在Rt△AME中,
AM=4,AE=a,ME=a-3,
由勾股定理得:42+(a-3)2=a2
解得:a=$\frac{25}{6}$,
综上所述,当△ADE是等腰三角形时,a的值为5或6或$\frac{25}{6}$.

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质,平移的性质,勾股定理得应用,特别是(2)②要分类讨论否则容易漏解.

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