Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．
（1）求证：MD=ME；
（2）填空：
①若AB=6，当AD=2DM时，DE=2；
②连接OD，OE，当∠A的度数为60°时，四边形ODME是菱形．

Answer 1

分析 （1）先证明∠A=∠ABM，再证明∠MDE=∠MBA，∠MED=∠A即可解决问题．
（2）①由DE∥AB，得$\frac{DE}{AB}$=$\frac{MD}{MA}$即可解决问题．
②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形，只要证明△ODE，△DEM都是等边三角形即可．

解答 （1）证明：∵∠ABC=90°，AM=MC，
∴BM=AM=MC，
∴∠A=∠ABM，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠ADE+∠ABE=180°，
又∠ADE+∠MDE=180°，
∴∠MDE=∠MBA，
同理证明：∠MED=∠A，
∴∠MDE=∠MED，
∴MD=ME．
（2）①由（1）可知，∠A=∠MDE，
∴DE∥AB，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{MD}{MA}$，
∵AD=2DM，
∴DM：MA=1：3，
∴DE=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{1}{3}$×6=2．
故答案为2．
②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．
理由：连接OD、OE，
∵OA=OD，∠A=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，
∴△ODE，△DEM都是等边三角形，
∴OD=OE=EM=DM，
∴四边形OEMD是菱形．
故答案为60°．

点评 本题考查圆内接四边形性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．