Question

（2012•庆元县模拟）定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．
探究：（1）如图甲，已知△ABC中∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．
（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为S_n．
①若△DEF的面积为1000，当n为何值时，3＜S_n＜4？
（请用计算器进行探索，要求至少写出二次的尝试估算过程）
②当n＞1时，请写出一个反映S_n-1，S_n，S_n+1之间关系的等式（不必证明）

Answer 1

分析：（1）过直角顶点作斜边的垂线即可得出两个与原直角三角形相似的三角形．由于这两个三角形都与原三角形共用一个锐角，又都有一个直角，因此有两个对应角相等，因此都与原三角形相似．
（2）由图可知，每分割一次得到的图形的小三角形的个数都是前面一个图形中小三角形的个数的4倍，因此当第n个图时，如果设原三角形的面积为S，那么小三角形的面积应该是S_n=

S

4n

，
①按所求的公式进行计算，看n是多少时Sn的值在3和4之间．
②S_n=

S

4n

=

S

22n

，S_n-1=

S

4n-1

=

S

22n-2

，S_n+1=

S

4n+1

=

S

22n+2

，由此可看出S_n²=S_n-1•S_n+1

解答：解：（1）正确画出分割线CD

（如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线．）
理由：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°
∴△BCD∽△ACB；

（2）①△DEF 经N阶分割所得的小三角形的个数为

1

4n

S_n=

1000

4n

当 n=3时，S₃=

1000

S3

≈15.62
当 n=4时，S₄=

1000

S4

≈3.91
∴当 n=4时，3＜S₄＜4
②∵S_n=

S

4n

=

S

22n

，S_n-1=

S

4n-1

=

S

22n-2

，S_n+1=

S

4n+1

=

S

22n+2

∴S

2 n

=S_n-1×S_n+1，S_n-1=4S_n+1．

点评：本题考查的是相似形的识别，关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．要根据前面几个简单图形得出一般化规律，然后用得出的规律来求解．