Question

【题目】已知，和都是等腰直角三角形，．

（1）如图1，点、都在外部，连接、、、、与相交于点，判断与的关系，说明理由，若，求四边形的面积；

（2）如图2，点在内部，点在的外部，连接、、、，当，时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）BD=CE，BD⊥CE；50；（2）10

【解析】

（1）证明△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，证出BD⊥CE，根据S四边形BCDE=S△BCE+S△DCE可求出答案；
（2）延长BD交AC于点O，交CE于点F，同（1）可得△ABD≌△ACE，可证出BD⊥CE，得出BE2+CD2=BC2+DE2，即可求解．

解：（1）BD=CE，BD⊥CE，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠CAE=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠DBC+∠ACE=90°，
∴∠BFC=90°，即BD⊥CE；
∴S四边形BCDE=S△BCE+S△DCE=×CE×BF+×CE×DF=×CE×BD=×10×10=50；

（2）延长BD交AC于点O，交CE于点F，

同（1）△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠AOB=∠COF，
∴∠BAC=∠BFC=90°，
∴BD⊥CE，
∴BE2=BF2+EF2，CD2=CF2+DF2，
∴BE2+CD2=BF2+EF2+CF2+DF2，
∵BF2+CF2=BC2，DF2+EF2=DE2，
∴BE2+CD2=BC2+DE2，
∵AE=1，AC=2，
∴DE=AE=，BC=AC=2，

∴BE2+CD2＝(2)2+()2=8+2=10．