Question

如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC
（1）求证：∠ACO=∠BCD．  
（2）若AE=18，CD=24，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）先根据垂径定理求出

BC

=

BD

，再根据圆周角定理即可得出∠BCD=∠BAC，再由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OE=18-r，OC=r，在Rt△OCE中根据勾股定理求出R的值，进而可得出结论．

解答：解：（1）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，
∴

BC

=

BD

，
∴∠BCD=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠BAC，
∴∠ACO=∠BCD；

（2）设⊙O的半径为r，则OE=18-r，OC=r，
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，
∴CE=

1

2

CD=

1

2

×24=12，
在Rt△OCE中，
OE²+CE²=OC²，即（18-r）²+12²=r²，解得r=13，
∴AB=2×13=26．

点评：本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．