Question

【题目】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线过点且与轴平行，直线过点且与轴平行，直线与相交于．点为直线上一点，反比例函数的图象过点且与直线相交于点．

(1)若点与点重合，求的值；

(2)连接、、，若的面积为面积的2倍，求点的坐标；

(3)当时，在轴上是否存在一点 ，使是等腰直角三角形？如果存在，直接写出点坐标：若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）点E的坐标为（，2）或（3，2）时的面积为面积的2倍；（3）当时，G（0,1）或（0, ），此时是等腰直角三角形

【解析】

（1）根据平行线的性质得到点P的坐标，由点E与点P重合得到点E的坐标，将点E的坐标代入中即可求出k的值；

（2）根据题意画出图形，用k表示点E及点F的坐标，得到对应线段的长度，分三种情况利用的面积为面积的2倍分别求出k的值，即可得到点E的坐标；

（3）由知点E在点P的右边，点F在点P的上边，画出图象，设点E的坐标及点F的坐标，分三种情况，根据等腰直角三角形的性质证明全等即可求出答案.

（1）由题意得点P(1,2)，

∵点与点重合，

∴E（1,2），

∵的图象过点，

∴k=；

（2）①当0<k<2时，如图1，

根据题意知：四边形OAPB是矩形，BP=1，AP=2，,

∵点E、F都在反比例函数的图象上，

∴E（，2），F（1，k），

∴BE=，PE=1-，AF=k，PF=2-k，

∵，

，

，

，

∴，

解得， （舍去），

∴E（，2）；

当k=2时，△OEF不存在；

②当k>2时，如图2，过点E作x轴的垂线EC，垂足为C，过点F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点H，则四边形OCHD是矩形，

∵E（，2），F（1，k），

∴PE=-1，PF=k-2，

∴，

∵四边形PEGF是矩形，

∴

∵,

，

=，

∴=2，

解得，（舍去），

∴E（3,2），

综上，点E的坐标为（，2）或（3，2）时的面积为面积的2倍；

（3）存在，

∵k>0，

∴点E在点P的右边，点F在点P的上边，

①如图3，∠FEG=90°，EF=EG,

设E（m，2），则F（1,2m），

∵∠EPF=EBG，EF=EG，∠FEP=∠BGE，

∴△FEP≌△EGB，

∴PF=BE，BG=EP，

∴m=2m-2，

∴m=2，

∴BG=PE=1，

∴G（0,1）；

②如图4，∠EFG=90°，EF=FG，作FM⊥y轴，

设E（m，2），则F（1,2m），

可得△FEP≌△FMG，

∴FM=FP，MG=EP，

∴2m-2=1，

∴m=，

∴F（1,3），E（，2），

∴MG=PE=-1=，

∴G（0, ）；

③∠EGF=90°的情况不存在，

综上，当时，G（0,1）或（0, ），此时是等腰直角三角形.