Question

已知，如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=DC；
（3）若圆O的半径为

2

，求弦BD与

BD

围成的弓形的面积．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰三角形的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）由AB为⊙O的直径，AB=AC，∠BAC=45°，即可求得∠ABE与∠ABC的度数，继而求得∠EBC的度数；
（2）首先连接AD，由圆周角定理可得，可得∠ADB=90°，又由三线合一，即可证得BD=DC；
（3）首先连接OD，过点B作BH⊥OD于点H，易求得∠BOD的度数与△OBD得高，继而求得答案．

解答：（1）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠BAC=45°，AB=AC，
∴∠ABE=45°，∠ABC=∠C=67.5°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=22.5°；

（2）证明：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC；

（3）解：连接OD，过点B作BH⊥OD于点H，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAC=2∠BAD，
∴∠BOD=2∠BAD=∠BAC=45°，
∴BH=OH=

2

2

OB=

2

2

×

2

=1，
∴弦BD与

BD

围成的弓形的面积为：S_扇形OBD-S_△OBD=

45×π×( 2 )2

360

-

1

2

×

2

×1=

π

4

-

2

2

．

点评：此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．