Question

如图，等边三角形ABC和等边三角形DEC，CE和AC重合，CE=AB,
(1)求证：AD=BE；
(2)若CE绕点C顺时针旋转30度，连BD交AC于点G，取AB的中点F连FG，求证：BE=2FG；
(3)在(2)的条件下AB=2，则AG= ______．（直接写出结果）

Answer 1

（1）证明：∵三角形ABC和等三角形DEC都是等边三角形，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CE=CD，CB=CA，
∴△CBE≌△CAD，
∴BE=AD．
（2）证明：过B作BT⊥AC于T，连AD，如图：

∵CE绕点C顺时针旋转30度，
∴∠ACE=30°，
∴∠GCD=90°，
又∵CE=AB，
而BT=AB，
∴BT=CD，
∴Rt△BTG≌Rt△DCG，∴BG=DG．
∵F为AB的中点，
∴FG∥AD，FG=AD，
∵∠BCE=∠ACD=90°，CB=CA，CE=CD，
∴Rt△BCE≌Rt△ACD．∴BE=AD，
∴BE=2FG；
（3）∵AB=2，由（2）Rt△BTG≌Rt△DCG，
∴AT=TC，GT=CT，
∴GT=，
∴AG=

（1）由等边三角形ABC和等边三角形DEC可得∠BCE=∠ACD=60°，CE=CD，CB=CA，从而得到△CBE≌△CAD，即可得到AD=BE；
（2）过B作BT⊥AC于T，连AD，由旋转可得到CE=AB，BT=AB，则BT=CD，所以Rt△BTG≌Rt△DCG，所以BG=DG．再证得Rt△BCE≌Rt△ACD即可。
（3）由Rt△BTG≌Rt△DCG及AB的长即可求得AG。