Question

3．如图所示，若有两个等边三角形的顶点P₁、P₂都在函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的图象上，点A₁、A₂在x轴上，直接写出点P₂的坐标．

Answer 1

分析 由于△P₁OA₁为等边三角形，作P₁C⊥OA₁，垂足为C，由等边三角形的性质及勾股定理可求出点P₁的坐标，根据点P₁是反比例函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（k＞0）图象上的一点，利用待定系数法求出此反比例函数的解析式；作P₂D⊥A₁A₂，垂足为D．设A₁D=a，由于△P₂A₁A₂为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点P₂的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出P₂点的坐标．

解答 解：作P₁C⊥OA₁，垂足为C，
设P₁（m，$\frac{4\sqrt{3}}{m}$），
∴OC=m，P₁C=$\frac{4\sqrt{3}}{m}$，
∵△P₁OA₁是的等边三角形，
∴P₁C=$\sqrt{3}$
∴$\frac{4\sqrt{3}}{m}$=$\sqrt{3}$m，
∴m=2，
∴OA₁=4，
作P₂D⊥A₁A₂，垂足为D．
设A₁D=a，
则OD=4+a，P₂D=$\sqrt{3}$a，
∴P₂（4+a，$\sqrt{3}$a），
∵P₂（4+a，$\sqrt{3}$a）在反比例函数的图象上，
∴代入y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$，得（4+a）•$\sqrt{3}$a=4$\sqrt{3}$，
解得：a=-1±$\sqrt{2}$．
∵a＞0，
∴a=-1+$\sqrt{2}$．
∴P₂（3+$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．