Question

如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若OA、OC的长满足|OA-2|+(OC-2

3

)2=0．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，求直线BB′的解析式；
（3）在直线BB′上是否存在点P，使△ADP为直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题应先根据OA与OC满足的方程以及非负数的性质得出OA与OC的长，再由矩形对边相等可得出BC、AB的长，由A、C在坐标轴上即可得出B、C的坐标．
（2）本题应根据三角形全等，得出AB′的长，再根据两点之间的距离公式即可得出B′的坐标，结合（1）即可得出BB′的解析式．
（3）分三种情况讨论：①K_AD×K_PD=-1；②K_AD×K_PA=-1；③K_AP×K_PD=-1（此方程无解）．

解答：解：（1）∵|OA-2|+（OC-2

3

）²=0
∴OA=2，OC=2

3

∴B点坐标为：（2

3

，2），C点坐标为（2

3

，0）．

（2）∵△ABC≌△AB′C．
∴AB=AB′=2

3

，CB′=CB=2
∵A（0，2），C（2

3

，0）
∴设B′的坐标为（x，y），则

x2+(y-2)2=(2 3 )2 (2 3 -x)2+y2=22

，
解得：B′的坐标为（

3

，-1），
由两点式解出BB′的解析式为y=

3

x-4．

（3）假如存在设P（a，

3

a-4），D（

2 3

3

，0）
①K_AD×K_PD=-1，
解得a=3

3

，
故P（3

3

，5）；
②K_AD×K_PA=-1；
解得a=

5 3

3

，
故P（

5 3

3

，1）．
③K_AP×K_PD=-1（此方程无解）．
故P（3

3

，5）或（

5 3

3

，1）．

点评：本题主要考查一次函数的应用，但是比较麻烦，做题时必须细心，特别是（3）问考虑到容易的方法就简便了．