Question

【题目】已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．

①求证：BE=CF；

②若AF=5，BC=6，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】①证明详见解析；②16.

【解析】

试题分析：①连接CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得BE=CF；

②根据Rt△ADE≌Rt△ADF得出AE=AF解答即可．

试题解析：①证明：连结CD，

∵D在BC的中垂线上，

∴BD=CD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，

∴DE=DF，∠BED=∠DCF=90°，

在RT△BDE和RT△CDF中，DE=DF，BD=CD，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴BE=CF；

②解：由（HL）可得，Rt△ADE≌Rt△ADF，

∴AE=AF=5，

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=（AE+BE）+BC+（AF﹣CF）=5+6+5=16．