Question

仿作题．示例：计算tan15°的值．

（一）作图
（1）作出Rt△ABC，使∠C=90°，∠ABC=30°；
（2）延长CB到D，使BD=AB；
（二）证明
因为在Rt△ABC中，∠ABC=30°．所以，BD=AB=2a，所以，又∠ADB+∠DAB=∠ABC=30°．
所以∠ADB+∠DAB=

1

2

×30°=15°
（三）计算
设AC=a，因为在Rt△ABC中，∠ABC=30°．所以，BD=AB=2a
BC=

AB2-AC2

=

(2a)2-a2

=

3

a
所以CD=CB+BD=

3

a+2a=(2+

3

)a，所以tan15°=

AC

CB

=

a

(2+ 3 )a

=(2-

3

)a
问题：请您根据tan15°的计算方法，计算tan22°30′的值．

Answer 1

分析：根据示例作出图形．由三角形的外角性质作出证明；然后利用勾股定理定理求得AB的长度，则易求直角边AC、CD的长度；最后通过正切三角函数的定义进行计算．

解答：解：∵22°30′=22.5°=

1

2

×45°
∴可以使用计算tan30°的方法，计算tan22°30′的值．
（一）作图
（1）做出Rt△ABC，使∠C=90°，∠ABC=45°；
（2）延长CB到D，使BD=AB；
（二）证明：
∵在Rt△ABC中，∠ABC=45°，
∴AC=BC，
∴BD=AB=

AC2+BC2

=

2

AC．
又∵∠ADB+∠DAB=∠ABC=45°．
∴∠ADB+∠DAB=

1

2

×45°=22.5°=22°30′．
（三）计算
设AC=a．
∵在Rt△ABC中，∠ABC=45°．
∴BD=AB=

2

a．
∴CD=CB+BD=

2

a+a=(

2

+1)a，
∴tan22°30′=

AC

CD

=

a

( 2 +1)a

=(

2

-1)a．

点评：本题考查了解直角三角形和勾股定理．此题是根据等腰三角形的性质和三角形外角定理进行证明的．