Question

如图，在四边形ABCD的各边上取点E、G，J，L，已知

AE

AB

=

DJ

DC

=

1

3

，

AL

AD

=

BG

BC

=

1

3

，连接LG，EJ交于M，求证：

LM

LG

=

1

3

．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例

专题：证明题

分析：由已知的两比例式，得到

AE

AB

=

AL

AD

=

1

3

，

DJ

DC

=

BG

BC

=

1

3

，可得出LE与BD平行，JG与BD平行，利用平行于同一条直线的两直线平行得到LE与JG平行，同时得到LE与JG的比值，再由LE与JG平行，得到三角形LEM与三角形GJM相似，由相似得比例得到LM与MG的比值为1：2，利用比例的性质即可求出LM与LG的比值为1：3，得证．

解答：证明：∵

AE

AB

=

DJ

DC

=

1

3

，

AL

AD

=

BG

BC

=

1

3

，
∴

AE

AB

=

AL

AD

=

1

3

，

DJ

DC

=

BG

BC

=

1

3

，
∴LE∥DB，JG∥DB，
∴

LE

DB

=

1

3

，

JG

DB

=

JC

DC

=

DC-DJ

DC

=

2

3

，LE∥JG，
∴

LE

JG

=

1

2

，且△LEM∽△GJM，
∴

LM

MG

=

LE

JG

=

1

2

，
则

LM

LG

=

LM

LM+MG

=

1

3

．

点评：此题考查了平行线分线段成比例，比例的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解本题的关键．