Question

如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M，N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）。当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M，N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动。设OM=x，ON=y（y>x>0），△POM的面积为S，若sinα=，OP=2。

（1）当∠MPN旋转30° （即∠OPM=30° ）时，求点N移动的距离；
（2）求证：△OPN∽△PMN；
（3）写出y与x之间的关系式；
（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围。

Answer 1

解：（1）∵且a为锐角，
∴a=60°，即，
∴初始状态时，△PON为等边三角形，
∴ON=OP=2，当PM旋转到PM′时，点N移动到N′，
∵OPM′=30°，，
∴，
在Rt△OPM′中，，
∴，
∴点N移动的距离为2
（2）在△OPN和△PMN中，

∴△OPN∽△PMN；
（3）∵MN=ON-OM=y-x，
∴，
过P点作PD⊥OB，垂足为D，
在Rt△OPD中，OD=OP·cos60°=，
，
∴，
在Rt△PND中，，
∴，即；
（4）在Rt△OPM中，OM边上的高PD为，
∴，
∵y>0，
∴2-x>0，即x<2，
又∵x≥0，
∴x的取值范围是；
∵S是x的正比例函数，且比例系数，
∴，即。