Question

探究题：可直接写结果
观察下列式子：（x²-1）÷（x-1）=x+1；
（x³-1）÷（x-1）=x²+x+1；
（x⁴-1）÷（x-1）=x³+x²+x+1
（x⁵-1）÷（x-1）=x⁴+x³+x²+x+1
（1）你能得到一般情况下（xⁿ-1）÷（x-1）的结果吗？（n为正整数）
（2）根据（1）的结果计算：1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶²+2⁶³．

Answer 1

解：（1）（xⁿ-1）÷（x-1）=x^n-1+x^n-2+…+x+1；

（2）1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶²+2⁶³=（2⁶⁴-1）÷（2-1）=2⁶⁴-1．
分析：（1）根据已知的式子可得到的式子是关于x的一个式子，最高次数是n-1，共有n项；
（2）把2当作x，即可把所求的式子看成是两个二项式的商的形式，逆用（1）的结果即可求解．
点评：本题考查了多项式与单项式的除法法则，正确理解已知式子的特点是关键．