Question

【题目】如图，点是等边内一点，且，点是边的中点，连接，.

（1）如图1，若点，，三点共线，则与的数量关系是______；

（2）如图2，若点，，三点不共线，问（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）如图3，若，，直接写出的长是______.

Answer 1

【答案】（1）；（2）上述结论仍然成立，证明见解析；（3）

【解析】

（1）由等边三角形的性质和已知条件得出∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AM⊥BC，∠BAP=∠CAP=∠BAC=30°，得出PB=PC，由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PCB=30°，得出PC=2PM，证出∠ACP=60°-30°=30°=∠CAP，得出AP=PC，即可得出AP=2PM；（2）延长BP至D，使PD=PC，连接AD、CD，证明△ACD≌△BCP（SAS），得出AD=BP，∠ADC=∠BPC=120°，证明△CMN≌△BMP（SAS），得出CN=BP=AD，∠NCM=∠PBM，证明△ADP≌△NCP（SAS），即可得出AP=PN=2CM；（3）作CE⊥BD于E，设BP=4x，则PD=PC=3x，由等边三角形的性质得出PE=PD=x，CE=PE=x，得出BE=BP+PE=x，在Rt△BCE中，由勾股定理得出方程，求出x=2，得出AD=BP=8，PD=PC=6，作PF⊥AD于F，则∠DPF=30°，由直角三角形的性质得出DF=PD=3，PF=DF=3，得出AF=AD-DF=8-3=5，由勾股定理即可得出答案．

（1）AP=2PM，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，点M是边BC的中点，

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AM⊥BC，∠BAP=∠CAP=∠BAC=30°，

∴PB=PC，

∵∠BPC=120°，

∴∠PBC=∠PCB=30°，

∴PC=2PM，∠ACP=60°-30°=30°=∠CAP，

∴AP=PC，

∴AP=2PM；

故答案为：AP=2PM；
（2）AP=2PM成立，理由如下：

如图，延长BP至D，使PD=PC，连接AD、CD，

则∠CPD=180°-∠BPC=60°，

∴△PCD是等边三角形，

∴CD=PD=PC，∠PDC=∠PCD=60°，

∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°=∠PCD，

∴∠BCP=∠ACD，

又∵AC=CB，

∴△ACD≌△BCP（SAS），

∴AD=BP，∠ADC=∠BPC=120°，

∴∠ADP=120°-60°=60°，

延长PM至N，使MN=MP，连接CN，

∵点M是边BC的中点，

∴CM=BM，

又∵∠CMN=∠PMB，

∴△CMN≌△BMP（SAS），

∴CN=BP=AD，∠NCM=∠PBM，

∴CN∥BP，

∴∠NCP+∠BPC=180°，

∴∠NCP=60°=∠ADP，

在△ADP和△NCP中，

，

∴△ADP≌△NCP（SAS），

∴AP=PN=2CM；

（3）如图，延长BP至D，使PD=PC，连接AD、CD，延长PM至N，使MN=MP，连接CN，作CE⊥BD于E，

同（2）得：AD=BP，AP=2CM；

设BP=4x，则PD=PC=3x，

∵CE⊥BD，△CPD是等边三角形，

∴PE=PD=x，CE=PE=x，

∴BE=BP+PE=x，

∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB= ，

在Rt△BCE中，由勾股定理得：

解得：x=2，

∴AD=BP=8，PD=PC=6，

作PF⊥AD于F，则∠DPF=90°-60°=30°，
∴DF= PD=3，PF= DF=3 ，

∴AF=AD-DF=8-3=5，

∴；

故答案为：．