Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，以点M(1,-1)为圆心，以为半径作圆，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，二次函数的图象经过点A、B、C，顶点为E.

（1）求此二次函数的表达式；
（2）设∠DBC＝a，∠CBE＝b，求sin（a－b）的值；
（3）坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)；（2）；（3）P₁（0，0），P₂（0，），P₃（9，0）.

试题分析：（1）由M（1，-1）为圆心，半径为可求出A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）、D（0，1），把A、B、C三点代入二次函数解析式求出a、b、c的值即可；
（2）在Rt△BCE中与Rt△BOD中可求出∠CBE＝∠OBD＝b，故sin（a－b）＝sin（∠DBC－∠OBD）＝sin∠OBC=；
（3）存在，Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P₁（0，0）过A作AP₂⊥AC交y正半轴于P₂，由Rt△CAP₂ ∽Rt△BCE，得P₂（0，），过C作CP₃⊥AC交x正半轴于P₃，由Rt△P₃CA∽Rt△BCE，得P₃（9，0）故在坐标轴上存在三个点P₁（0，0），P₂（0，），P₃（9，0），.
试题解析：（1）∵M（1，-1）为圆心，半径为
∴OA=1，OB=3，OC=3，OD=1，
∴A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）、D（0，1）
把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入二次函数y=ax²+bx+c
解得：a=1，b=-2，c=-3
∴ 二次函数表达式为
（2）过点E作EF⊥y轴于点F
∵
∴可得
∵点E为二次函数的顶点
∴点E的坐标为
∴
∵
∴∠OCB=∠ECF=45º
∴∠BCE=90º
∵在Rt△BCE中与Rt△BOD中，
，
∴∠CBE＝∠OBD＝b，
∴ sin（a－b）＝sin（∠DBC－∠OBD）＝sin∠OBC＝
（3）显然 Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P₁（0，0）
过A作AP₂⊥AC交y正半轴于P₂，由Rt△CAP₂ ∽Rt△BCE，得P₂（0，）
过C作CP₃⊥AC交x正半轴于P₃，由Rt△P₃CA∽Rt△BCE，得P₃（9，0）
故在坐标轴上存在三个点P₁（0，0），P₂（0，），P₃（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似
考点:1.二次函数解析式；2.相似三角形的判定与性质．