Question

已知，如图，正方形ABCD中，点E是CB延长线上一点，连接DE，分别交AC、AB于点F、G，且BE=BF．
（1）请判断GB与EF有怎样的数量关系？并证明你的结论．
（2）求

AG

GB

的值以及四边形BCDF与正方形ABCD的面积之比．

Answer 1

分析：（1）证得△FDA≌△FBA，得出∠ADF=∠ABF，进一步利用BE=BF，三角形的外角和求出∠E=30°，连接BD，作BH⊥ED垂足为点H，把GB与EF都用BH来表示，推出结论；
（2）利用（1）中的结论，求出GD、AG用BH表示，求得

AG

GB

的值；利用△ADF∽△EFC，以及DF与EF的关系求出AF：FC，四边形BCDF与正方形ABCD的面积之比转化为AF：FC即可．

解答：（1）EF=3GB．
证明：连接BD，

在△FDA和△FBA中，
∠DAF=∠BAF，
AF=AF，
AB=AD，
∴△FDA≌△FBA（SAS），
∴∠ABF=∠ADF，BF=DF，
∴∠FBD=∠FDB；
又∵BE=BF，
∴∠E=∠BFE；
而∠EFB=2∠FDB，
∠FBC=2∠E，
∴4∠FDB-∠FDB=∠DBC=45°，
∴∠E=∠EFB=30°；
过点B作BH⊥ED垂足为点H
∴∠GBH=30°，
∴在直角△GBH中，GB=

2 3

3

BH，
在直角△EBH中，EH=

3

BH，EF=2

3

BH，
∴EF：GB=2

3

BH：

2 3

3

BH=3：1，
即EF=3GB．

（2）在直角△GBH和直角△EBG中，
GH=

3

3

BH，GB=

2 3

3

BH，EB=2BH，
又∵EF=3GB=2

3

BH，
∴GF=2

3

BH-EH-GH=

2 3

3

BH=GB，
DF=BF=BE=2BH，
∴DG=（2+

2 3

3

）BH=；
∵AD∥EB，
∴∠ADG=∠E=30°，
∴AG=（1+

3

3

）BH，
∴

AG

GB

=（1+

3

3

）BH：

2 3

3

BH=

2+ 3

2

；
∵AD∥EC，
∴△ADF∽△EFC，
∴

AF

FC

=

DF

FE

=

3

3

；
S_{四边形BCDF}：S_{正方形ABCD}=S_△BCF：S_△BFA=FC：AF=

3

：1．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形以及渗透等量代换等思想．