Question

（2013•集美区一模）新定义：如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是“格点”．双曲线y1=

k

x

（x＞0）与直线y₂=ax+b交于A（1，5）和B（5，t）．
（1）判断点B是否为“格点”，并求直线AB的解析式；
（2）P（m，n）是图中双曲线与直线围成的阴影部分内部（不包括边界）的“格点”，试求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）点B是“格点”，理由为：将A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式求出t的值，即可做出判断；将A与B的坐标代入一次函数解析式求出a与b的值，即可确定出直线AB的解析式；
（2）根据P（m，n）是图中双曲线与直线围成的阴影部分内部（不包括边界）的“格点”，由图象得到1＜m＜5，y₁＜y₂，且m、n都是整数，得到m可能为2，3，4，依次检验即可求出P的坐标．

解答：解：（1）点B是“格点”，理由为：
把A（1，5）代入y₁=

k

x

得：k=5，
∴y₁=

5

x

，
将B（5，t）代入反比例解析式得：t=1，
∵5是整数，1也是整数，
∴点B是“格点”；
把A（1，5）和B（5，1）分别代入y₂=ax+b得：

a+b=5 5a+b=1

，
解得：

a=-1 b=6

，
∴直线AB的解析式为：y₂=-x+6；
（2）∵P（m，n）是阴影部分内部（不包括边界）的“格点”，
∴1＜m＜5，y₁＜y₂，且m、n都是整数，
∴m的值可能为2、3或4，
当m=2时，y₁=

5

2

，y₂=4，那么n=3，得P（2，3）；
当m=3时，y₁=

5

3

，y₂=3，那么n=2，得P（3，2）；
当m=4时，y₁=

5

4

，y₂=2，那么此时n不存在，舍去，
∴P（2，3）或P（3，2）．

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．