Question

【题目】如图，已知AB经过圆心O ，交⊙O于点C．

（1）尺规作图：在AB上方的圆弧上找一点D，使得△ABD是以AB为底边的等腰三角形（保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，若∠DAB=30°，求证：直线BD与⊙O相切．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）作线段AB的垂直一部分线，交AB上方的圆弧上于点D，连接AD，BD，等腰三角形ABD即为所求作；

（2）由等腰三角形的性质可求出∠B=30゜，连接OD，利用三角形外角的性质得∠DOB=60゜，再由三角形内角和求得∠ODB=90゜,从而可证得结论．

（1）如图所示；

（2）∵△ABD是等腰三角形，且∠DAB=30°，

∴∠DBA=30゜，

连接OD，

∵OA=OD

∴∠ODA=∠OAD=30゜

∴∠DOB=∠ODA+∠OAD=60゜

在△ODB中，∠DOB+∠ODB+∠DBO=180゜

∴∠ODB=180゜-∠DOB-∠DBO=90゜，即

∴直线BD与⊙O相切．