Question

如图，已知△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双曲线y=（x＞0）的一个分支上，点B在x轴上，CD⊥OB于D，若△AOC的面积为3，则k的值为

1. A.
   2
2. B.
   3
3. C.
   4
4. D.
   

Answer 1

C
分析：过点A作AM⊥OB于M，设点A坐标为（x，y），根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．可求出S_△AMO和S_△AMB，进而求出S_△AOB，又因为C为AB中点，所以△AOC的面积为△AOB面积的一半，问题得解．
解答：解：过点A作AM⊥OB于M，设点A坐标为（x，y），
∵顶点A在双曲线y=（x＞0）图象上，
∴xy=k，
∴S_△AMO=OM•AM=xy=k，
设B的坐标为（a，0），
∵中点C在双曲线y=（x＞0）图象上，CD⊥OB于D，
∴点C坐标为（ ，），
∴S_△CDO=OD•CD=••=k，
∴ay=3k，
∵S_△AOB=S_△AOM+S_△AMB
=k+•（a-x）y
=k+ay-xy=k+×3k-k，
=k，
又∵C为AB中点，
∴△AOC的面积为 ×k=3，
∴k=4，
故选C．
点评：此题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．