【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+2x经过原点O,且与直线y=x﹣2交于B,C两点.
(1)求抛物线的顶点A的坐标及点B,C的坐标;
(2)求证:∠ABC=90°;
(3)在直线BC上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1,
∴抛物线顶点坐标A(1,1),
联立抛物线与直线解析式可得 ,解得 或 ,
∴B(2,0),C(﹣1,﹣3)
(2)
解:证明:
由(1)可知B(2,0),C(﹣1,﹣3),A(1,1),
∴AB2=(1﹣2)2+12=2,BC2=(﹣1﹣2)2+(﹣3)2=18,AC2=(﹣1﹣1)2+(﹣3﹣1)2=20,
∴AC2=AB2+BC2,
∴△ABC是直角三角形,
∴∠ABC=90°
(3)
解:如图,过点P作PG∥y轴,交直线BC于点G,
设P(t,﹣t2+2t),则G(t,t﹣2),
∵点P在直线BC上方,
∴PG=﹣t2+2t﹣(t﹣2)=﹣t2+t+2=﹣(t﹣ )2+ ,
∴S△PBC=S△PGB+S△PGC= PG[2﹣(﹣1)]= PG=﹣ (t﹣ )2+ ,
∵﹣ <0,
∴当t= 时,S△PBC有最大值,此时P点坐标为( , ),
即存在满足条件的点P,其坐标为( , )
(4)
解:∵∠ABC=∠ONM=90°,
∴当△OMN和△ABC相似时,有 或 ,
设N(m,0),
∵MN⊥x轴,
∴M(m,﹣m2+2m),
∴MN=|﹣m2+2m|,ON=|m|,
② 当 时,即 = ,解得m=5或m=﹣1或m=0(舍去);
②当 = 时,即 = ,解得m= 或m= 或m=0(舍去);
综上可知存在满足条件的N点,其坐标为(5,0)或(﹣1,0)或( ,0)或( ,0)
【解析】(1)把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标,联立抛物线与直线的解析式可求得B、C的坐标;(2)由A、B、C的坐标可求得AB2、BC2和AC2 , 由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形;(3)过点P作PG∥y轴,交直线BC于点G,设出P点坐标,则可表示出G点坐标,从而可表示出PG的长,则可表示出△PBC的面积,利用二次函数的性质可求得其最大值时P点坐标;(4)设出M、N的坐标,则可表示出MN和ON的长度,由相似三角形的性质可得到关于N点坐标的方程可求得N点坐标.
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【题目】已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l过点M(1,0),倾斜角为 . (Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程;
(Ⅱ)若曲线C经过伸缩变换 后得到曲线C′,且直线l与曲线C′交于A,B两点,求|MA|+|MB|.
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【题目】如图,直线y=kx+b经过点A(﹣5,0),B(﹣1,4).
(1)求直线AB的表达式;
(2)若直线y=﹣2x﹣4与直线AB相交于点C,求点C的坐标;
(3)根据图象,写出关于x的不等式kx+b>﹣2x﹣4的解集.
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【题目】已知直线l1∥l2∥l3 , 等腰直角△ABC的三个顶点A,B,C分别在l1 , l2 , l3上,若∠ACB=90°,l1 , l2的距离为1,l2 , l3的距离为3,求:
(1)线段AB的长;
(2) 的值.
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【题目】在一条笔直的公路的同侧依次排列着A,C,B三个村庄,某天甲、乙两车分别从A,B两地出发,沿这条公路匀速行驶至C地停止,从甲车出发至甲车到达C地的过程,甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示.求:
(1)甲的速度是 , 乙的速度是;
(2)分别求出甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系式,并写出取值范围;
(3)若甲、乙两车到C地后继续沿该公路原速度行驶,求甲车出发多少小时,两车相距350km.
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【题目】如图,在△ABC中,中线BE,CD相交于点O,连接DE,下列结论: ① = ;② = ;③ ;④ =
其中正确的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】已知一个函数图象经过(1,﹣4),(2,﹣2)两点,在自变量x的某个取值范围内,都有函数值y随x的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是( )
A.正比例函数
B.一次函数
C.反比例函数
D.二次函数
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【题目】如图1,ABCD为正方形,直线MN分别过AD边与BC边的中点,点P为直线MN上任意一点,连接PB、PC分别与AD边交于E、F两点,PC与BD交于点K,连接AK与PB交于点G.
(1)探索发现
当点P落在AD边上时,如图2,试探究PB与AK的位置关系以及PB、PK、AK三者的数量关系(直接写出无需证明);
(2)延伸拓展
当点P落在正方形外,如图1,以上两个结论是否仍然成立?如果成立请给出证明,如果不成立请说明你的理由;
(3)应用推广
如图3,在等腰Rt△ABD中,其中∠BAD=90°,腰长为3,M、N分别为AD边与BD边的中点,K为线段DN中点,F为AD边上靠近于D的三等分点.连接KF并延长与直线MN交于点P,连接PB分别与AD、AK交于点E、G.试求四边形EFKG的周长及面积.
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