Question

【题目】如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB＝74°，∠ABC＝46°，且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠BDC的度数为_____．

Answer 1

【答案】30°

【解析】

延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，过D点作DG⊥AC于G点，可得出△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，进而得出CD为∠ACF的平分线，得出∠DCA=53°，再根据三角形内角和定理即可得出结论．

解：

延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，

∵BD是∠ABC的平分线

在△BDE与△BDF中， ，

∴△BDE≌△BDF（ASA），

∴DE＝DF，

又∵∠BAD+∠CAD＝180°

∠BAD+∠EAD＝180°

∴∠CAD＝∠EAD，

∴AD为∠EAC的平分线，

过D点作DG⊥AC于G点，

在Rt△ADE与Rt△ADG中， ，

∴△ADE≌△ADG（HL），

∴DE＝DG，

∴DG＝DF．

在Rt△CDG与Rt△CDF中， ，

∴Rt△CDG≌Rt△CDF（HL），

∴CD为∠ACF的平分线，

∠ACB＝74°，

∴∠DCA＝53°，

∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠DCA﹣∠ACB＝180°﹣23°﹣53°﹣74°＝30°．

故答案为：30°