Question

【题目】如图，将绕点按顺时针方向旋转至，使点落在的延长线上．已知，则___________度；如图，已知正方形的边长为分别是边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为_________ ．

Answer 1

【答案】46 2.5

【解析】

先利用三角形外角性质得∠ACA′=∠A+∠B=67°，再根据旋转的性质得∠BCB′=∠ACA′=67°，然后利用平角的定义计算∠ACB′的度数；由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为FM的长．．

解：∵∠A=27°，∠B=40°，

∴∠ACA′=∠A+∠B=67°，

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，

∴∠BCB′=∠ACA′=67°，

∴∠ACB′=180°-67°-67°=46°．

∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，

∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，

∴F、C、M三点共线，

∴DE=DM，∠EDM=90°，

∴∠EDF+∠FDM=90°，

∵∠EDF=45°，

∴∠FDM=∠EDF=45°，

在△DEF和△DMF中，，

∴△DEF≌△DMF（SAS），

∴EF=MF，

设EF=MF=x，

∵AE=CM=1，且BC=3，

∴BM=BC+CM=4，

∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x，

∵EB=AB-AE=2，

在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，

即22+（4-x）2=x2，

解得：x=2.5，

∴FM=2.5．

故答案为：46；2.5．