Question

已知抛物线与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）设抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），求此抛物线的解析式，并求出与x轴的另一个交点B的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线与y轴交于点C，点D在y轴的正半轴上，且以A、O、D为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似，求点D的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴（-1）²-4×k＞0，
∴解得k＜；

（2）将A（-1，0）代入得，
+1+k=0，
解得k=-，
则函数解析式为y=x²-x-．
当y=0时，x²-x-=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
于是B点坐标为（3，0）；

（3）设点D坐标为（0，y），y＞0，
因以A、O、D为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似，
则①△OCB∽△OAD，=，
即=，
解得OD=，故D（0，）；
②△OCB∽△ODA，=，
即OD=，
故点D的坐标为：（0，）或（0，）．
分析：（1）根据抛物线与x轴交点个数与相对应的一元二次方程的根的判别式的关系即可解答；
（2）将A（-1，0）代入即可求出k的值，从而得到抛物线的解析式．
（3）根据题意，分△OCB∽△OAD和△OCB∽△ODA两种情况讨论．
点评：此题考查了二次函数的综合运用，涉及抛物线的性质、相似三角形的性质等内容，要注意分类讨论．