Question

10．在半圆O中，AB为直径，弦AD、BC交于E，连接CD，∠C+2∠D=90°．

（1）如图1，求证：弧AC=弧CD；
（2）如图2，点F为劣弧BD上一点，连接OF交BC于G，连接BF，若∠CBF=45°，求证：BG=EG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG并延长与⊙O相交于点H，连接DH，若HG=5，DH=9，求线段BE的长度．

Answer 1

分析 （1）连接BD，由AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，根据直角三角形的性质得到∠A+∠ABD=90°，等量代换得到∠ABD=2∠ADC，求得∠ABC=∠CBD，即可得到结论；
（2）连接OC，根据圆周角定理得到∠COF=90°，根据垂径定理得到OC⊥AD，推出AD∥OF，根据平行线等分线段定理即可得到结论；
（3）连接BD，DG，作GM⊥DH于M，由AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，根据直角三角形的性质得到DG=BG，推出∠GDM=∠BGH，通过△DGM≌△BGH，得到DM=HG，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠C+2∠D=90°，∠A=∠C，
∴∠ABD=2∠ADC，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠ABC=∠CBD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$；

（2）连接OC，
∵∠CBF=45°，
∴∠COF=90°，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴OC⊥AD，
∴AD∥OF，
∵AO=BO，
∴BG=EG；

（3）连接BD，DG，作GM⊥DH于M，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵BG=EG，
∴DG=BG，
∵∠GDM=∠GDB+∠BDH，∠BGH=∠GBA+∠HAB，
∵∠BDH=∠BAH，∠GDB=∠GBD，
∴∠GDM=∠BGH，
在△DGM与△BGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DNG=∠GHB=90°}\\{∠GDM=∠BGH}\\{DG=BG}\end{array}\right.$，
∴△DGM≌△BGH，
∴DM=HG，
∵HG=5，DH=9，
∴MH=4，
∴MG=$\sqrt{G{H}^{2}-M{H}^{2}}$=3，
∴DG=$\sqrt{D{M}^{2}+M{G}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∴BG=DG=$\sqrt{34}$，
∴BE=2BG=2$\sqrt{34}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．