Question

16．已知关于x的一元二次方程kx²+（3k+1）x+3=0 （k≠0）．
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）点A（x₁，0），B（x₂，0）在抛物线y=kx²+（3k+1）x+3上，其中x₁＜0＜x₂，且x₁，x₂和k均为整数，求A，B两点的坐标及k的值；
（3）设（2）中所求抛物线与y轴交于点C，问该抛物线上是否存在点E，使得S_△ABE=S_△ABC？若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用根的判别式即可得出结论；
（2）首先利用求根公式得x，再利用x₁，x₂和k均为整数，得k=±1，根据x₁＜0＜x₂得k的取值，得A，B的坐标；
（3）利用三角形的面积公式得S_△ABE=S_△ABC=6，设点E的纵坐标为y₁，由S_△ABE=$\frac{1}{2}•AB•$|y₁|=6解得y₁，求得点E的坐标．

解答 解：（1）∵△=（3k+1）²-12k=9k²-6k+1=（3k-1）²≥0，
∴方程总有两个实数根；

（2）由求根公式得：x=$\frac{-（3k+1）±\sqrt{（3k-1）^{2}}}{2k}$，
∴x=-3或x=-$\frac{1}{k}$，
∵x₁，x₂和k均为整数，
∴k=±1，
又∵x₁＜0＜x₂，
∴k=-1，
∴A（-3，0），B（1，0）；

（3）解：由（2）得二次函数的解析式为：y=-x²-2x+3，
令x=0，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），
设点E的纵坐标为y₁，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•OC=$\frac{1}{2}×4×3$=6，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}•AB•$|y₁|=6
∴|y₁|=3，
当y₁=3时，-x²-2x+3=3，解得，x=0或x=-2，
∴点E的纵坐标为（-2，3）；
当y₁=-3时，-x²-2x+3=-3，解得，x=-1$+\sqrt{7}$或x=-1$-\sqrt{7}$，
∴点E的纵坐标为（-1$+\sqrt{7}$，-3）或（-1-$\sqrt{7}$，-3）；
综上所述：点E坐标为（-2，3），（-1$+\sqrt{7}$，-3）或（-1-$\sqrt{7}$，-3）．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标及二次函数图象上坐标的特点，设点E纵坐标为y₁，利用抛物线得横坐标是解答此题的关键．