Question

等边三角形是大家熟悉的特殊三角形，除了以前我们所知道的它的一些性质外，它还有很多其它的性质，我们来研究下面的问题：

如图1，点P是等边△ABC的中心，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，易证：BE+CF+AD=EC+AF+BD
问题提出：如图2，若点P是等边△ABC内任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，上述结论还成立吗？
为了解决这个问题，现给予证明过程：
证明：连接PA、PB、PC，在Rt△PBE和Rt△PEC中，PB²=PE²+BE²，PC²=PE²+CE²，∴PB²-PC²=BE²-CE²
同理可证：PC²-PA²=CF²-AF²，PA²-PB²=AD²-BD²．
将上述三式相加得：BE²-CE²+CF²-AF²+AD²-BD²=0，即：（BE+CE）（BE-CE）+（CF+AF）（CF-AF）+（AD+BD）（AD-BD）=0
∵△ABC是等边三角形，设边长为a．
∴BE+CE=CF+AF=AD+BD=a；
∴a（BE-CE）+a（CF-AF）+a（AD-BD）=0；
∴BE-CE+CF-AF+AD-BD=0；
∴BE+CF+AD=EC+AF+BD．
问题拓展：如图3，若点P是等边△ABC的边上任意一点，PD⊥AB于D，PF⊥AC于F，上述结论还成立吗？若成立，请直接写出结论，不用证明；若不成立，请说明理由．
问题解决：
如图4，若点P是等边△ABC外任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

Answer 1

解：问题拓展：BE+CF+AD=EC+AF+BD仍然成立．
理由如下：如图3，连接PA，在Rt△PAD和Rt△PBD中，PA²=AD²+PD²，PB²=BD²+PD²，
∴PA²-PB²=AD²-BD²，
同理可证：PC²-PA²=CF²-AF²，
又∵PB²=BE²，PC²=CE²，
∴PB²-PC²=BE²-CE²，
将上述三式相加得：AD²-BD²+CF²-AF²+BE²-CE²=0，
即：（BE+CE）（BE-CE）+（CF+AF）（CF-AF）+（AD+BD）（AD-BD）=0，
∵△ABC是等边三角形，设边长为a，
∴BE+CE=CF+AF=AD+BD=a，
∴a（BE-CE）+a（CF-AF）+a（AD-BD）=0，
∴BE-CE+CF-AF+AD-BD=0，
∴BE+CF+AD=EC+AF+BD；

问题解决：如图4，连接PA、PB、PC，
在Rt△PBE和Rt△PEC中，PB²=PE²+BE²，PC²=PE²+CE²，
∴PB²-PC²=BE²-CE²，
同理可证：PC²-PA²=CF²-AF²，PA²-PB²=AD²-BD²，
将上述三式相加得：BE²-CE²+CF²-AF²+AD²-BD²=0，
即：（BE+CE）（BE-CE）+（CF+AF）（CF-AF）+（AD+BD）（AD-BD）=0，
∵△ABC是等边三角形，设边长为a，
∴BE+CE=CF+AF=AD+BD=a，
∴a（BE-CE）+a（CF-AF）+a（AD-BD）=0，
∴BE-CE+CF-AF+AD-BD=0，
∴BE+CF+AD=EC+AF+BD．
分析：问题拓展：连接PA，然后根据“问题提出”的证明思路证明即可；
问题解决：连接PA、PB、PC，然后根据“问题提出”的证明思路证明即可．
点评：本题考查了等边三角形的性质，勾股定理的应用，读懂题目信息，理解证明思路与方法是解题的关键．