Question

如图①，直线AM⊥AN，⊙O分别与AM、AN相切于B、C两点，连接OC、BC，则有∠ACB=∠OCB；（请思考：为什么？）如果测得AB=a，则可知⊙O的半径r=a．（请思考：为什么？）
（1）将图①中直线AN向右平移，与⊙O相交于C₁、C₂两点，⊙O与AM的切点仍记为B，如图②．请你写出与平移前相应的结论，并将图②补充完整；判断此结论是否成立，且说明理由．
（2）在图②中，若只测得AB=a，能否求出⊙O的半径r？若能求出，请你用a表示r；若不能求出，请补充一个条件（补充条件时不能添加辅助线，若补充线段请用b表示，若补充角请用α表示），并用a和补充的条件表示r．

Answer 1

（1）图②中相应结论为∠AC₁B=∠OC₁B和∠AC₂B=∠OC₂B．（2分）
先证∠AC₁B=∠OC₁B．
连接OB、OC₁，
∵AM与⊙O相切于B，
∴OB⊥AM；
∵AN⊥AM，
∴OB∥AN，
∴∠AC₁B=∠OBC₁；
∵OB=OC₁，
∴∠OBC₁=∠OC₁B，
∴∠AC₁B=∠OC₁B．
同理可证∠AC₂B=∠OC₂B．（4分）

（2）若只测得AB=a，不能求出⊙O的半径r．（5分）
补充条件：另测得AC₁=b．（6分）
作OD⊥C₁C₂，则C₁D=C₂D．
∵AB²=AC₁•AC₂，∴AC₂=

a2

b

．
∴C₁C₂=AC₂-AC₁=

a2

b

-b=

a2-b2

b

．
∴C₁D=

1

2

C₁C₂=

a2-b2

2b

．
故r=OB=AD=AC₁+C₁D=b+

a2-b2

2b

=

a2+b2

2b

．（10分）
说明：1．①若补充条件：另测得AC₁=b，则r=

a2+b2

2b

；
②若补充条件：另测得C₁C₂=b，则r=

4a2+b2

2

；
③若补充条件：另测得BC₁=b，则r=

b2 b2-a2

2(b2-a2)

；
④若补充条件：另测得∠ABC₁=α，则r=

a

2sinαcosα

．
2．以上答案供参考，若有其他答案，只要正确，都应给分．