Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，且当x＝0和x＝2时，y的值相等，直线y＝3x－7与这条抛物线交于两点，其中一点横坐标为4，另一点是这条抛物线的顶点M.

(1)求顶点M的坐标．

(2)求这条抛物线对应的函数解析式．

(3)P为线段BM上一点(P不与点B，M重合)，作PQ⊥x轴于点Q，连接PC，设OQ＝t，四边形PQAC的面积为S，求S与t的函数解析式，并直接写出t的取值范围．

(4)在线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1) M(1，－4)(2)y＝x2－2x－3(3) S＝－t2＋t＋(1＜t＜3)(4)存在．点N的坐标为(，－)，(1＋，－4)或(2，－2)

【解析】

（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点M在直线y＝3x－7上，将x=1代入直线解析式求解即可；

（2）先求出抛物线与直线另一交点的坐标为(4，5)，然后设抛物线解析式的顶点式为y＝a(x－1)2－4，再将（4,5）代入求解即可；

（3）由图可知四边形PQAC是一个不规则图形，先将其面积分割成S△AOC和S梯形OCPQ两部分，易知△AOC为直角三角形，梯形COPQ为直角梯形，进而可得S与t之间的函数；

（4）设N点的坐标为(m，2m－6)且1<m<3，则CM2＝12＋12＝2，CN2＝m2＋(2m－3)2，

MN2＝(m－1)2＋(2m－2)2，然后分三种情况分别求出m的值即可得解.

(1)∵当x＝0和x＝2时，y的值相等，

∴抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴顶点M的横坐标为1，

又∵顶点M在直线y＝3x－7上，

∴y＝－4，

∴M(1，－4)；

(2)把x＝4代入y＝3x－7，

解得y＝5，

设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－1)2－4，

将点(4，5)的坐标代入得a＝1，

∴抛物线对应的函数解析式为y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3；

(3)由y＝x2－2x－3，可得A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，

∴直线MB对应的函数解析式为y＝2x－6，

∴P(t，2t－6)，

∵P为线段BM上一点(P不与点B，M重合)，

∴1＜t＜3，

∴S＝S△AOC+S梯形OCPQ=×1×3＋ (3＋6－2t)t=－t2＋t＋ (1＜t＜3)．

(4)存在．假设存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．

∵点N在BM上，

∴不妨设N点的坐标为(m，2m－6)且1<m<3，

则CM2＝12＋12＝2，CN2＝m2＋(2m－3)2，MN2＝(m－1)2＋(2m－2)2，

△NMC为等腰三角形，有以下三种可能：

①若CN＝CM，则m2＋(2m－6＋3)2＝2，

解得m＝或m＝1(舍去)，

∴N(，)；

②若CM＝MN，则(m－1)2＋(2m－6＋4)2＝2，

解得m＝1±，

∵1<m<3，

∴m＝1－舍去，

∴N(1+，﹣4)；

③若CN＝MN，则m2＋(2m－6＋3)2＝(m－1)2＋(2m－6＋4)2，

解得m＝2，

∴N(2，－2)；

综上，点N的坐标为(，)，(1+，﹣4)或(2，－2)．