Question

1．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点M是边BC的中点，点E是边AB上的一个动点，EG⊥AM交AM于点G，交射线CD于点F．
（1）如图①，当点E与点B重合时，求证：BM=CF．
（2）如图②，设BE为x，梯形AEFD的面积为y，写出y与x的函数解析式，并求出x的取值范围．
（3）若DF=1，求点A到EF的距离．

Answer 1

分析 （1）证明△BAM≌△CBF，根据全等三角形的性质证明；
（2）作EH⊥CD于H，根据全等三角形的性质求出FH，根据梯形的面积公式计算；
（3）根据勾股定理求出AM，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

解答 （1）证明：∵EG⊥AM，
∴∠BAM+∠ABG=90°，又∠CBF+∠ABG=90°，
∴∠BAM=∠CBF，
在△BAM和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CBF}\\{AB=BC}\\{∠ABM=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△BAM≌△CBF，
∴BM=CF；
（2）解：作EH⊥CD于H，
由（1）得，△BAM≌△HEF，
∴HF=BM=2，
∴DF=4-2-x=2-x，
∴y=$\frac{1}{2}$×（4-x+2-x）×4=12-4x（0≤≤x2）；
（3）当DF=1时，BE=2-x=1，
则AE=4-1=3，
由勾股定理得，AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠AGE=∠B=90°，∠EAG=∠MAB，
∴△EAG∽△MAB，
∴$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AE}{AM}$，即$\frac{AG}{4}$=$\frac{3}{2\sqrt{5}}$，
解得，AG=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，即点A到EF的距离为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．