Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B．
（1）求等腰梯形的腰长；
（2）证明：△ABP∽△PCE；
（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求出BP的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）解：过A作AF⊥BC于F，由已知可得BF的长，再根据直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半得出AB即可；
（2）根据∠APE=∠B，则∠APC=∠B+∠BAP，即可得出∠BAP=∠CPE，从而证明出∴△ABP∽△PCE；
（3）结论：存在这样的点P；由DE：EC=5：3，得CE的长，设BP=x，则PC=7-x，由△ABP∽△PCE，得AB：PC=BP：CE，代入数据得出的值，即可求出BP．
解答：（1）解：过A作AF⊥BC于F，过点D作DH⊥BC于H，
等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形ADHF是矩形，
∴AF=DH，FH=AD，
∵AB=DC，
∴Rt△ABF≌Rt△DCH，
∴BF=CH，
∴BF=…（2分）
在Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2，
∴AB=4
即等腰梯形的腰长为4…（4分）

（2）证明：由∠APC为△ABP的外角得
∠APC=∠B+∠BAP，
又∵∠APC=∠APE+∠CPE，∠B=∠APE，
∴∠BAP=∠CPE．…（6分）
又由等腰梯形性质得∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似）  …（8分）

（3）解：存在这样的点P…（9分）
理由如下：
由DE：EC=5：3，DE+CE=DC=4，得
CE=…（10分）
设BP=x，则PC=7-x
由△ABP∽△PCE，得
=，即= …（12分）
解得x₁=1，x₂=6，经检验，都符合题意
故BP=1或BP=6  …（13分）
评分说明：部分解答题有多种解法，以上各题只给出了一种解法，学生的其他解法可参照给分．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，以及解分式方程，熟练掌握相似三角形的判定：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．