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(2007•十堰)某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙,建造如图所示的长方体水池,培育不同品种的鱼苗.他已备足可以修高为1.5m、长18m的墙的材料准备施工,设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm,即AD=EF=BC=xm.(不考虑墙的厚度)
(1)若想水池的总容积为36m3,x应等于多少?
(2)求水池的总容积V与x的函数关系式,并直接写出x的取值范围;
(3)若想使水池的总容积V最大,x应为多少?最大容积是多少?

【答案】分析:(1)这个水槽是个长方体,我们先看这个矩形的面积,有了AD、EF、BC的长,因为材料的总长度是18m,因此这个矩形的长应该是18-3x,又知道宽为x,又已知了长方体的高,因此可根据长×宽×高=36m3来得出关于x的二次方程从而求出x的值.
(2)和(1)类似,只需把36立方米换成V即可.
(3)此题是求二次函数的最值,可以用配方法或公式法,来求出此时x、y的值.
解答:解:(1)∵AD=EF=BC=x,
∴AB=18-3x
∴水池的总容积为1.5x(18-3x)=36,
即x2-6x+8=0,解得:x=2或4
答:x应为2m或4m

(2)由(1)知V与x的函数关系式为:
V=1.5x(18-3x)=-4.5x2+27x,
x的取值范围是:0<x<6

(3)V=-4.5x2+27x=-(x-3)2+
∴由函数图象知:当x=3时,V有最大值40.5
答:若使水池的总容积最大,x应为3,最大容积为40.5m3
点评:本题主要考查了二次函数的应用,正确的表示出长方体的体积是解题的关键.求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法,当二次系数a的绝对值是较小的整数时,用配方法较好.
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