分析 (1)连接OA、OB,由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°,由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°,求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论;
(2)作AF⊥CD于F,证出$\widehat{AB}=\widehat{AD}$,由圆周角定理得出∠ACB=∠ACD=45°,由三角函数求出AF=CF=AC•sin∠ACF=2,DF=$\frac{2}{3}$,即可得出CD的长.
解答 (1)证明:连接OA、OB,如图1所示:
∵∠ACB=45°,
∴∠AOB=2∠ACB=90°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
∵∠BAE=45°,
∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,
∴AE⊥OA,
∴AE是⊙O的切线;
(2)解:作AF⊥CD于F,如图2所示:
∵AB=AD,
∴$\widehat{AB}=\widehat{AD}$,
∴∠ACB=∠ACD=45°,
∵AF⊥CD,
∴∠AFC=∠AFD=90°,
∵AC=2$\sqrt{2}$,
∴在Rt△AFC中,AF=CF=AC•sin∠ACF=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2,
∵在Rt△AFD中,tan∠ADC=$\frac{AF}{DF}$=3,
∴DF=$\frac{2}{3}$,
∴CD=CF+DF=2+$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$.
点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、三角函数等知识;熟练掌握切线的判定,由三角函数求出AF和DF是解决问题(2)的关键.
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