Question

（2013•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx-2 与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．
（2）求点C在这条抛物线上时m的值．
（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．
①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标．
②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值．
（参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

））

Answer 1

分析：（1）将A（-1，0）、B（4，0）两点的坐标代入y=ax²+bx-2，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标为（m，2），再将C的坐标代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2，即可求出m的值；
（3）①先由旋转的性质得出点D的坐标为（m，-2），再根据二次函数的性质求出抛物线y=

1

2

x²-

3

2

x-2的对称轴为直线x=

3

2

，然后根据点D在直线x=

3

2

上，即可求出点D的坐标；
②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE时，分别以D、N为直角顶点，在DN的两侧分别作出等腰直角三角形DNE，E点的位置分四种情况讨论．针对每一种情况，都可以先根据等腰直角三角形的性质求出点E的坐标，然后根据点E在直线x=

3

2

上，列出关于m的方程，解方程即可求出m的值．

解答：解：（1）∵抛物线经过点A（-1，0）、B（4，0），
∴

a-b-2=0 16a+4b-2=0.

解得

a= 1 2 b=- 3 2 .

∴抛物线所对应的函数关系式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，
∴CM=MN=2，
∴点C的坐标为（m，2），
∵点C（m，2）在抛物线上，
∴

1

2

m²-

3

2

m-2=2，
解得m₁=

3+ 41

2

，m₂=

3- 41

2

．
∴点C在这条抛物线上时，m的值为

3+ 41

2

或

3- 41

2

；

（3）①∵将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN，
∴∠CND=90°，DN=CN=

2

CM=

2

MN，
∴CD=

2

CN=2CM=2MN，
∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，
∴点D的坐标为（m，-2）．
又∵抛物线y=

1

2

x²-

3

2

x-2的对称轴为直线x=

3

2

，点D在这条抛物线的对称轴上，
∴点D的坐标为（

3

2

，-2）；

②如图，以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，E点的位置有四种情况：
如果E点在E₁的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），MN=ME₁=2，点N的坐标为（m+2，0），
∴点E₁的（m-2，0），
∵点E₁在抛物线y=

1

2

x²-

3

2

x-2的对称轴x=

3

2

上，
∴m-2=

3

2

，解得m=

7

2

；
如果E点在E₂的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），点N的坐标为（m+2，0），
∴点E₂的（m+2，-4），
∵点E₂在抛物线y=

1

2

x²-

3

2

x-2的对称轴x=

3

2

上，
∴m+2=

3

2

，解得m=-

1

2

；
如果E点在E₃的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），
∴点E₃的（m，2），
∵点E₃在抛物线y=

1

2

x²-

3

2

x-2的对称轴x=

3

2

上，
∴m=

3

2

；
如果E点在E₄的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），点N的坐标为（m+2，0），
∴点E₄的（m+4，-2），
∵点E₄在抛物线y=

1

2

x²-

3

2

x-2的对称轴x=

3

2

上，
∴m+4=

3

2

，解得m=-

5

2

；
综上可知，当点E在这条抛物线的对称轴上时，所有符合条件的m的值为m=-

5

2

或m=-

1

2

或m=

3

2

或m=

7

2

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，综合性较强，难度适中．其中（3）②要注意分析题意分情况讨论E点可能的位置，这是解题的关键．