Question

已知：如图所示，直线l的解析式为，并且与x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）半径为0.75的⊙O₁，以0.4个单位/秒的速度从原点向x轴正方向运动，问在什么时刻与直线l相切；
（3）在第（2）题的条件下，在⊙O₁运动的同时，与之大小相同的⊙O₂从点B出发，沿BA方向运动，两圆经过的区域重叠部分是什么形状的图形？并求出其面积．

Answer 1

解：（1）直线l的解析式为，并且与x轴、y轴分别交于点A、B．
当y=0时，x=4，
当x=0时，y=-3，
故A、B两点的坐标分别为A（4，0）B（0，-3）；

（2）若动圆的圆心在C处时与直线l相切，设切点为D，
∵A（4，0）B（0，-3），
∴AB==5，
如图所示，连接CD，则CD⊥AD．由∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=90°，
可知Rt△ACD∽Rt△ABO．
∴=，即=，则AC=1.25．
此时OC=4-1.25=2.75，t==2.75÷0.4=6.875（s）．
根据对称性，圆C还可能在直线l的右侧，与直线相切，
此时OC=4+1.25=5.25，t==5.25÷0.4=13.125（s）．
∴t=6.785s或t=13.125s时圆与直线l相切．

（3）两圆经过的区域重叠部分为菱形，根据题意可知菱形的边长分别为1.25，
菱形的高为0.6，故S=0.6×1.25=0.75，
两圆经过的区域重叠部分的面积为0.75．
分析：（1）根据直线l的解析式为直接求出A、B两点坐标即可；
（2）当圆与直线相切时，根据直线1与x轴的角度可求出圆心坐标，然后再求出时间t．
（3）两圆经过的区域重叠部分为菱形，根据菱形面积公式即可求得面积．
点评：本题主要考查了一次函数的综合应用，是各地中考的热点，在解题时注意数形结合思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．