已知长方体的长.宽.高分别为30cm.20cm.10cm.一只蚂蚁从A处出发到B处觅食.求它所走的最短路径．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．

已知长方体的长、宽、高分别为30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从A处出发到B处觅食，求它所走的最短路径．（结果保留根号）

分析因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

解答解：长方体的展开图如图：

（1）展开前面右面由勾股定理得AB²=（30+20）²+10²=2600；
（2）展开前面上面由勾股定理得AB²=（10+20）²+30²=1800；
（3）展开左面上面由勾股定理得AB²=（10+30）²+20²=2000．
∵30$\sqrt{2}$＜20$\sqrt{5}$＜10$\sqrt{26}$，
∴最短路程长为30$\sqrt{2}$cm．

点评本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．

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例如化简：$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$；∵3=1+2 且2=1×2，∴3+2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{1}$）²+（$\sqrt{2}$）²+2$\sqrt{1}$×$\sqrt{2}$∴$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$=1+$\sqrt{2}$
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成$\sqrt{a±2\sqrt{b}}$的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n=a，且m•n=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
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（2）化简：①$\sqrt{9+6\sqrt{2}}$ ②$\sqrt{16-4\sqrt{15}}$
（3）计算：$\sqrt{3-\sqrt{5}}$+$\sqrt{2+\sqrt{3}}$．

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