Question

已知：如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD相交于点E，且AC=AB，BD=BC，BA⊥AC于点A，求证：CD=CE．

Answer 1

分析：如图，首先分别过A，D作梯形的高线，把梯形的问题转化成直角三角形和矩形的问题．在Rt△ABC中，容易知道AN=

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BC．在△BDC中，DM=AN，DM=

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BD，这样可以确定∠DBC=30°，再根据等腰三角形的性质求出△BDC内角的度数，然后可以证明题目结论

解答：证明：如答图所示，
作AN⊥BC于N，DM⊥BC于M，
∵AB=AC，∴AN为BC的中线，
又∵∠BAC=90°，
∴AN=

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BC．
∵AN⊥BC，DM⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ANMD为矩形．
∴AN=DM．∴DM=

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BC．
∵BC=BD，∴DM=

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BD．
又∵∠DMB=90°，
∴∠DBC=30°，
∴∠BDC=∠BCD=75°．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°．
∴∠DEC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°．
∴∠EDC=∠DEC=75°，
∴CD=CE．

点评：此题主要考查梯形的常用辅助线-做梯形的高线，把梯形的问题转化成三角形，矩形的问题，然后根据已知条件和三角形的性质解题．