Question

如果（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图（2）所示已知展开图中每个正方形的边长为1．
（1）求在该展开图中可画出的最长线段的长度？这样的线段可以画几条？
（2）求∠B′A′C′的度数？说明理由．
（3）在图1中若蚂蚁从点A′沿着正方体的表面爬行到点C，试求爬行的最短路程．

Answer 1

分析：（1）根据图形得出符合条件的线段有4条，根据勾股定理求出线段的长即可；
（2）连接B′C′，根据已知正方体得出∠A′B′F=∠C′B′F=45°，A′B′=B′C′，推出△A′B′C′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出即可；
（3）画出图形，连接A′C，根据勾股定理求出A′C的长即可．

解答：解：（1）如图2，AH=1+1+1=3，CH=1，
即最长线段AC的长度是：

32+12

=

10

，这样的线段可以画4条，如图（2）线段EB′、线段FM、线段A′C′、线段GH；且线段的长度都是

10

；

（2）连接B′C′，
由图形可知：∠A′B′E=∠C′B′E=45°，A′B′=B′C′=

5

，
∴∠A′B′C′=90°，
即△A′B′C′是等腰直角三角形，
∴∠B′A′C′=45°；

（3）如图所示展开：连接A′C，则线段A′C的长就是蚂蚁从点A′沿着正方体的表面爬行到点C的最短路程，
在Rt△A′C′C中，A′C′=1+1=2，C′C=1，∠A′C′C=90°，
由勾股定理得：A′C=

22+12

=

5

．

点评：本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理，等腰直角三角形的性质的综合运用，关键是能正确画出图形，题目比较典型，有一定的难度．