Question

实践与探索！
①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成________个三角形；
②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成________个三角形；
③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外________个顶点连线可以把n边形分成________个三角形（用含n的代数式表示）．
④你能否根据这样划分多边形的方法来写出n边形的内角和公式？请说明你的理由．

Answer 1

3    4    n-2    n-1
分析：①②③在n边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形；
④欲证明多边形的内角和定理，可以把多边形的内角转移到三角形中，利用（n-1）个三角形，内角和为（n-1）×180°，n边形的内角和还要再减去P所在的一个平角，所以n边形的内角和为（n-2）×180°．
解答：①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成4-1=3个三角形；
②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成5-1=4个三角形；
③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外（n-2）个顶点连线可以把n边形分成 （n-2）个三角形（用含n的代数式表示）．
④在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形，
这（n-1）个三角形的内角和等于（n-1）•180°，
以P为公共顶点的（n-1）个角的和是180°，
所以n边形的内角和是（n-1）•180°-180°=（n-2）•180°．
故答案为：3；4；n-2，n-1．
点评：本题考查了多边形的内角和定理的证明，解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中解决，在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形．