Question

（11·兵团维吾尔）（10分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠
B＝45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD
向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求AB的长；
（2）设BP＝x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；
（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．

Answer 1

解：（1）作AE⊥BC，

∵等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，
∴BE＝(BC－AD)÷2＝2.5，
∵∠B＝45°，

（2）作QF⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同，BP＝x，
∴BP＝CQ＝x，
∵BC＝9，

（3）假设AB上存在点M，使得四边形PCQM为菱形，

∵等腰梯形ABCD，∠B＝∠C＝45°，
∴CQ＝CP＝BP＝MP，∠B＝∠C＝∠MPB＝45°，
∴∠BMP＝45°，
∵∠B＝∠MPB＝∠BMP＝45°，不符合三角形内角和定理，
∴假设不存在，
∴边AB上不存在点M，使得四边形PCQM为菱形．

略