Question

8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0）
（1）求线段CD的长；
（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？

Answer 1

分析 （1）作DE⊥BC于E，根据勾股定理即可求解；
（2）线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，分两种情况进行求解．

解答 解：（1）如图1，作DE⊥BC于E，则四边形ADEB是矩形．

∴BE=AD=1，DE=AB=3，
∴EC=BC-BE=4，
在Rt△DEC中，DE²+EC²=DC²，
∴DC=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=5厘米；

（2）∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒，
∴BP=t厘米，PC=（5-t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（5-2t）厘米，
且0＜t≤2.5，
作QH⊥BC于点H，
∴DE∥QH，
∴∠DEC=∠QHC，
∵∠C=∠C，
∴△DEC∽△QHC，
∴$\frac{DE}{QH}$=$\frac{DC}{QC}$，即$\frac{3}{QH}$=$\frac{5}{2t}$，
∴QH=$\frac{6}{5}$t，
∴S_△PQC=$\frac{1}{2}$PC•QH=$\frac{1}{2}$（5-t）•$\frac{6}{5}$t=-$\frac{3}{5}$t²+3t，
S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AB=$\frac{1}{2}$（1+5）×3=9，
分两种情况讨论：
①当S_△PQC：S_{四边形ABCD}=1：3时，
-$\frac{3}{5}$t²+3t=$\frac{1}{3}$×9，即t²-5t+5=0，
解得t₁=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，t₂=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$（舍去）；
②S_△PQC：S_{四边形ABCD}=2：3时，
-$\frac{3}{5}$t²+3t=$\frac{2}{3}$×9，即t²-5t+10=0，
∵△＜0，
∴方程无解，
∴当t为$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分．

点评 此题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，直角梯形，三角形的面积等知识，准确作出辅助线、利用数形结合以及分类讨论是解题的关键．